圧縮比20の理想的なディーゼルサイクルは、作動流体として空気を使用して実行される。 圧縮プロセスの開始時、空気の圧力は95 kPa、温度は293K。サイクルの最高温度が2200Kを超えない場合は、室温の空気の比熱が一定

Question

であると仮定して、熱効率を求めなさい。

この問題を教えてほしいです。

Answer 1

最初の断熱圧縮だけの情報では熱効率は出ません。断熱圧縮に続く等圧加熱の体積比が必要です。
断熱圧縮；(P1, V1, T1)→(P2, V2, T2)・・・①
定圧加熱；(P2, V2, T2)→(P2, V3, T3)・・・②
断熱膨張；(P2, V3, T3)→(P3, V1, T4)・・・③
定積冷却；(P3, V1, T4)→(P1, V1, T1)・・・④
と回ります。ここでV1/V2=α（圧縮比)とし、V3/V2=βとします。等圧加熱だからT3/T2=βでもあります。
効率ηは受け取った熱をQ1、放出した熱をQ2として
η=(Q1+Q2)/Q1・・・⑤
です。Q２は代数学的数でマイナスです。
1 molの気体で考えます。
Q1=Cp(T3-T2)=Cp(β-1)T2=γCv(β-1)T2・・・⑥
γ=Cp/Cv(比熱比)です。ここで①の断熱過程から
T2=T1(V1/V2)^(γ-1)=T1α^(γ-1)・・・⑦
ですから⑥は
Q1＝γCv(β-1)T1α^(γ-1)・・・⑧
となります。
Q2=Cv(T1-T4)・・・⑨
です。
T4=T3(V3/V1)^(γ-1)=βT2(βV2/V1)^(γ-1)=β^γT2(1/α)^(γ-1)・・・⑩
となります。更に⑦を⑩にいれると
T4=β^γT1α^(γ-1)（1/α)^(γ-1)=β^γT1・・・⑪
となります。これを⑨にいれると
Q2=CvT1(1-β^γ)・・・⑫
です。⑥、⑫を⑤にいれると
η=[(γCv(β-1)T1α^(γ-1)+CvT1(1-β^γ))]/[γCv(β-1)T1α^(γ-1)]
=[γ(β-1)α^(γ-1)+(1-β^γ)]/[γ(β-1)α^(γ-1)]
=1-[((β^γ)-1)/[γ(β-1)α^(γ-1)]・・・⑬
となります。空気だとγ=1.4、α=20として
η=1-((β^1.4)-1)/[1.4(β-1)α^0.4]
となります。たとえばβ=5とかであれば、αは20ですから
η＝１－[((５^1.4)-1)/(1.4x4x20^0.4)]=0.541・・・⑭
となります。