車税に関してです。

Question

ナビゲーター03を所有しています。
が名義が違います。
駐車場を近くで借りれる場所があったのに無理になってしまい急遽名義変更をやめました。
早く見つけなければと思っていましたがなかなか見つからず
名義の方が離婚してしまいました。
元の苗字が（例）山田太郎だったのが太郎太郎になりました
ナビゲーターの名義は山田太郎ですが今現在は太郎太郎です
故障してきたので輸出に出そうと思ってます。
名義本人からは許可済み。
で来月12月で車検が切れます。
また廃車にするにも書類が必要ですが相手が面倒なのか用意してくれません。
なのでそのまま輸出または部品取りとして持ってってもらうつもりでいますがこの場合来年の5月車税は相手に行くのでしょうか？
苗字が変わったので行かないのでしょうか？
税務署に聞いたら行かないと言うのですがそもそも車を持つ時点で車税はかかるものなのでは？と思いました。
軽自動車なら手元にないからといえば納税しなくて良いという証明書を発行してくれますが乗用車はどうなのか
まとめて簡単に言えば

名義人の苗字が変わってしまったが元の名前を辿って車税が相手の方（名義人）に行くのでしょうか？
またそれが相手のところにないから車税は納めなくて良いという証明書を発行してくれるのか。
後々税務署のせいでうだうだ揉めたくないもので。
よろしくお願いします。