業務スーパーエブリイのエブリカの申し込みに行こうと思うのですが運転免許証はとっていないのと本人確認できるものと言えば保険証、マイナンバーぐらいしかありませんができますか？

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入会方法の説明を読んだ限り、60歳以上の人が対象となるシニア会員に限って、運転免許証など年齢が確認できるものが必要、それ以外の人は本人確認書類は必要ないはずです。

万が一、必要になったととしても、マイナンバーカードを持っていれば、まず大丈夫です。

電子マネー機能付きのポイントカードですので、本人確認書類が必要になるのは紛失時だけだと思います。
本人確認がなくても、氏名や住所、生年月日などの情報は正確に記入するようにしてください。
正確に記入しておかないと、紛失したときに困ります。