gr86 AT のSPORTSモードって通常と違うのは少し回転数を上げてからシフトチェンジするだけですか？ その他にも違いはありますか？

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SPORTSモードは、加速、巡航、減速の全体でエンジン回転数を高めに保ち、アクセルを踏み込んだ時の反応を良くする動作になります。
アクセルを踏み込んだときは、高めのエンジン回転数からのほうが鋭く加速できるからです。
スポーツ走行に向いた制御に切り替わることになります。

具体的なことまでは分かりませんが、車種によっては SPORTSモードにすることで、一部の電装系の制御が変わったり、一部の運転アシスト機能がＯＦＦになるなど、表面的には分かりづらい制御の変更がある可能性があります。
スポーツ走行で邪魔になる機能がＯＦＦになる可能性があるということです。
具体的なことは、車に付属の説明書で確認が必要です。