2014年製のカローラで、昨日駐車場へバックで入ろうとしたら、突然セレクトレバーが RとPレンジに入らなくなりました。 前進できるのですが、何か引っ掛かる RレンジからPの方に入らない感じです。

Answer 1

下回りが大丈夫な場合ですが、
年数的に違うかもしれませんが、
原因の１つとして
シフトの中にゴミが入らない様に使われている、
薄いプラスチックのカバーがひび割れした様で、
引っかかってしまいシフトが動かすと時々引っかかり、
最終的には噛み込んで動かなくなってしまいました。
薄いプラスチックなので、無理やり動かし割って動く様になりました。

Answer 2

ミッションのトラブルの可能性が極めて高いですね。
（もしかするとミッション交換？）
整備工場へ入庫した方がいいと思います。
私は逆でRとPにしか入らなくなったことならあります（前に動かなくなった）。

Answer 3

車の底を何かにぶつけたり道路上に落ちていた障害物を跨いで
打ち付けていませんか？