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Question

Answer 1

(1)
地表での万有引力が重力に等しいと見なして、
GMm/R^2 =mg
g=GM/R^2 [m/s^2] …①


(2)
地表と点Oから2R の位置との間での力学的エネルギー保存により、
(1/2)mvo^2 －GMｍ/R =0 －GMm/(2R)
vo^2 －2GM/R =GM/R
vo^2=GM/R
vo=√(GM/R)

①より、GM=gR^2 だから、
vo=√(gR) [m/s]


(3)
万有引力を向心力として、半径 2R の等速円運動をするので、
GMm/(2R)^2 =mv^2 /(2R)
v^2=GM/(2R)
v=√[GM/(2R)]
①より、
v=√(gR/2) [m/s]


(4)
(a)
近地点A と遠地点B とでは、距離と速さの積が等しいので、
2Rv=6RV
V=(1/3)v [m/s]


(b)
A,B 間での力学的エネルギー保存により、
(1/2)mv^2 －GMm/(2R) =(1/2)m(v/3)^2 －GMm/(6R)
v^2 －GM/R =(1/9)v^2 －(1/3)GM/R
(8/9)v^2 =(2/3)GM/R
v^2 =(3/4)GM/R
v=√[(3/4)GM/R]
①より、
v=√(3gR/4) =√(3gR)/2 [m/s]


(c)
(3)の円運動の周期をTo とすると、
To=2π･2R/v
=4πR/√(gR/2)
楕円軌道の長半径a は、
a=(2R+6R)/2
=4R
楕円軌道の周期をT とすると、ケプラーの第３法則より、
To^2 /(2R)^3 =T^2 /(4R)^3
T^2 =(4/2)^3 ･To^2
=8･(4πR)^2 /(gR/2)
=(16π)^2 ･R/g
T=16π√(R/g) [s]


(5)
速さの最小値V1 は、2Rが遠地点距離となり、
地球の裏側が近地点となって、
地表すれすれの位置（速さ 2V1）となる場合ですから、
力学的エネルギー保存により、
(1/2)mV1^2 －GMm/(2R) =(1/2)m(2V1)^2 －GMm/R
V1^2 －GM/R=4V1^2 －2GM/R
3V1^2 =GM/R
V1^2=GM/(3R)
V1=√[GM/(3R)]
①より、
V1=√(gR/3) [m/s]

速さの最大値V2 は、無限遠まで飛び去ってしまう場合ですから、
力学的エネルギー保存により、
(1/2)mV2^2 －GMm/(2R)=(1/2)m･0^2 －GMm/∞
V2^2 －GM/R=0
V2^2 =GM/R
V2=√(GM/R)
①より、
V2=√(gR) [m/s]

よって、
√(gR/3) < v < √(gR) [m/s]


となります。