力学の問題です

Question

解けるかたお願いします
【問題】地球の質量をM、半径をRとし、また密度が一様な球とする。質量mの質点を地球表面から鉛直上方に速さv0で投げ上げたとき、以下の問いに答えなさい。ただし、万有引力定数をGとして、地球の自転による影響は無視する。
(1)地球表面における重力加速度の大きさgをM、R、Gを用いた式で書きなさい
(2)質量mの質点が地球表面から高さxにある時、質点の鉛直方向の運動方程式を書きなさい
(3) (2)の運動方程式にx´ をかけて時間積分することにより、

(1/2)mx´^2 -GMm/(R+x) =E

を導いて、質点の運動エネルギーと位置エネルギーの和が保存されることを示しなさい。ただしEは定数である
(4)質量mの質点を地球表面から速さv0で鉛直上方に投げ上げた時、(3)のEをM、m、R、G、v0 を用いた式で表しなさい
(5)の符号によって、投げ上げた後の質点の運動がどう違うかを説明しなさい
(6)質点が無限遠に達するために必要なv0の最小値(脱出速度)をRとgを用いた式で書きなさい
(7)R=6.4×10^3 km、g=9.8m/s^2 として、(6)の値を求めなさい
(8)v0が(6)の脱出速度に等しい時、質点が地球表面から高さhまで到達するのに要する時間をR、g、hを用いた式で書きなさい
(9)v0が脱出速度より小さい時、到達する最高の高さをR、g、v0を用いた式で書きなさい

Answer 1

(5)と(8)が変な問題だと思う・・・。

(1)
引力：ＧmM/R²=mg
g=GM/R²

(2)
運動方程式
m(d²x/dt²)=-GmM/(R+x)²

(3)
両辺に(dx/dt)をかける
m(dx/dt)(d²x/dt²)=-GmM(dx/dt)/(R+x)²
積分
(1/2)m(dx/dt)²=GmM/(R+x)+E---Eは定数
(1/2)m(dx/dt)²-GmM/(R+x)=E

(4)
投げあがる瞬間は、dx/dt=v0、x=0だから
E=(1/2)mv0²-GmM/R

(5)
問題の意味不明。何の符合を言っている？？？

(6)
無限遠で速度0になる
(1/2)mv0²-GmM/R=(1/2)m(0)²-GmM/∞=0
(1/2)mv0²=GmM/R
v0²=2GM/R
(1)の答えより、GM=gR²だから
v0²=2gR²/R=2gR
v0=√(2gR)

(7)
R=6.4×10³ km=6.4×10⁶ m
v0=√(2×9.8×6.4×10⁶)=√(125.44×10⁶)=11.2×10³ m/s=11.2km/s

(8)
かかる時間の計算は出来そうな気がしない。hの高さでの速度であれば以下の通り。
高さhでの速度：Vとすると
(1/2)mv0²-GmM/R=(1/2)mV²-GmM/(R+h)
(1/2)ｍ(2gR)-GmM/R+GmM/(R+h)=(1/2)mV²
V²=2gR-2GMh/{R(R+h)}
GM=gR²だから
V²=2gR-2gRh/(R+h)=2gR{1-h/(R+h)}=2gR²/(R+h)
V=R√{2g/(R+h)}

(9)
求める高さ：Hとすると、その高度で速度が0になるから
(1/2)mv0²-GmM/R=(1/2)m(0)²-GmM/(R+H)
(1/2)mv0²=GmM/R-GmM/(R+H)=GmMH/{R(R+H)}
v0²=2GMH/{R(R+H)}
R(R+H)v0²=2GMH
R²v0²=2GMH-RHv0²=(2GM-Rv0²)H
H=R²v0²/(2GM-Rv0²)
GM=gR²だから
H=R²v0²/(2gR²-Rv0²)=Rv0²/(2gR-v0²)