万有引力の問題です。

Question

171番の(3)~(5)のやり方がわからないので、
教えて下さい。

Answer 1

文字が小さすぎて、添え字が見えにくいので、
各小問で求める速さの記号はこちらで勝手に決めます。
違っていたら、修正してください。

また、地表における万有引力 GMm/R^2 が重力 mg に等しいことから、
GMm/R^2 =mg
GM=gR^2 …①
の関係を用います。


(1)
求める速さをvo とします。
万有引力を向心力として、半径R の等速円運動をするので、
GMm/R^2 =mvo^2 /R

vo^2=GM/R
①より、
vo^2=gR
∴ vo=√(gR) …答


(2)
Ａでの速さを v1, Ｂでの速さを V1 とします。

ケプラーの第２法則より、
Rv1=3RV1
∴ V1=v1/3 …答

A,B 間での力学的エネルギー保存により、
(1/2)mv1^2 －GMm/R =(1/2)mV1^2 －GMm/(3R)

v1^2 －2GM/R =V1^2 －2GM/(3R)
v1^2 －(v1/3)^2 =2GM/R －2GM/(3R)
(8/9)v1^2 =(4/3)GM/R
v1^2=(3/2)GM/R
=(3/2)gR

∴ v1=√[(3/2)gR] …答


(3)
求める速さを Vo とします。

万有引力を向心力として、半径 3R の等速円運動をするので、
GMm/(3R)^2 =mVo^2 /(3R)
Vo^2=GM/(3R)
=gR/3

∴ Vo=√(gR/3) …答


(4)
求める速さをv2 とします。

点Ａと無限遠点との間での力学的エネルギー保存により、
(1/2)mv2^2 －GMm/R =(1/2)m･0^2 －GMm/∞
(1/2)mv2^2 －GMm/R =0
v2^2 =2GM/R
=2gR

∴ v2=√(2gR) …答


(5)
vo：v1：v2：Vo：V1 =√(gR)：√(3gR/2)：√(2gR)：√(gR/3)：√(gR/6)
=1：√(3/2)：√2：√(1/3)：√(1/6)
=√1：√1.5：√2：√0.333…：√0.166…
よって、
v2 > v1 > vo > Vo > V1 …答


となります。