基本的に皇族には戸籍が無いため、免許証、パスポート、選挙権などは無いはずです。道路交通法ではなく、皇室典範の方で規定されているのでしょうか？

Answer 1

運転免許証はありますよ。実際に今上天皇陛下もお持ちです。
＞天皇陛下が自動車運転免許の更新のため1月8日、高齢者講習に臨まれた。12月23日に82歳の誕生日を迎えた陛下は、皇居の東御苑で愛車のホンダ「インテグラ」で実技講習を受けたという。同日、TBSなどが報じた。
参考：http://www.huffingtonpost.jp/2016/01/08/emperor-integra_n_8936944.html

まあ皇統譜という戸籍のようなものが存在するので、それを利用しているんじゃないかと思います。

パスポートに関しても特別です。
天皇皇后両陛下は、慣例で不要となっています。
他の皇族方には「外交旅券」というものがあり、どうやら渡航されるごとに発行されるようです。
http://www.yasuka.xyz/voyage/post-1020

選挙権は、わかりやすい規定があります。
公職選挙法
附則
１ この法律は、昭和二十五年五月一日から施行する。
２ 戸籍法（昭和二十二年法律第二百二十四号）の適用を受けない者の選挙権及び被選挙権は、当分の間、停止する。
http://law.e-gov.go.jp/htmldata/S25/S25HO100.html

被選挙権・選挙権は「停止されている」状況です。

Answer 2

今上天皇は運転免許証を、お持ちですよ。
美智子妃殿下を助手席に乗せて、
箱根までドライブされた過去もあります。
普通に、教習所で取得されておられます。