【急募】機械力学の問題です 大学の機械力学の問題です。 解き方が分からず困っております。 読める画質のものをDropboxにアップしました。

Question

URL先でみることができますので、ご利用ください。
https://www.dropbox.com/s/d3asjr0w4tf2leg/H28kirki-1Q.jpg?dl=0

部分的でも構いません。
どなたか解る方いらっしゃいませんか？

Answer 1

rlo_olr_kero_1lo_ol1さん

(1) O点周りのモーメントの釣り合いから，

m・(3aθ")・3a = - k・(aθ)・a - c・(aθ')・a - mgsinθ・3a

⇔ 9ma^2・θ" + ca^2・θ' + ka^2・θ+3mga・sinθ = 0

微小回転なのでsinθ≒θ。上式を整理して，

9ma^2・θ" + ca^2・θ' + (ka^2+3mga)θ = 0 ・・・・a)


(2) a)の運動方程式で，c=0とすると，

9ma^2・θ" + (ka^2+3mga)θ = 0

⇔ θ" + {(ka+3mg)/(9ma)}θ = 0

⇔ θ" + ωn^2・θ = 0

したがって，固有角振動数ωnは，

ωn = √{(k/m)+(3g/a)} / 3 ・・・・b)


(3) θ = A・e^s (A：const.)として，a)に代入すると，

9ma^2・s^2 + ca^2・s + (ka^2+3mga)s = 0

⇔ 9ma・s^2 + ca・s + (ka+3mg)s = 0

∴ s = -{c/(18m)}±[√{(ca)^2-36ma(ka+3mg)}/(18ma)]

臨界減衰の時は，(ca)^2-36ma(ka+3mg) = 0。

cについて解いて，c = (6/a)・√{ma(ka+3mg)}

したがって，cc = (6/a)・√{ma(ka+3mg)} ・・・・c)


(4) a)を整理すると，

θ" + 2ζωn・θ + ωn^2・θ = 0 (但し，ζ = c/cc，0<ζ<1)

これをθについて解くと，A,B：const.として，

θ = exp(-ζωn・t)×[Acos{ωn√(1-ζ^2)・t}+Bsin{ωn√(1-ζ^2)・t}]

したがって，減衰固有角振動数ωdは，

ωd = ωn√(1-ζ^2) ・・・・d)


(5) (4)で，

θ = exp(-ζωn・t)×[Acos{ωn√(1-ζ^2)・t}+Bsin{ωn√(1-ζ^2)・t}]

初期条件θ(0)=θ0を代入すると，A = θ0。

また，

θ' = ωn・exp(-ζωn・t)×[{-ζA+√(1-ζ^2)B}・cos{ωn√(1-ζ^2)・t}
+{-√(1-ζ^2)A+ζB}・sin{ωn√(1-ζ^2)・t}]

より，初期条件θ'(0)=0を代入して，

-ζA+√(1-ζ^2)B = 0

∴ B = {ζ/√(1-ζ^2)}・A = {ζ/√(1-ζ^2)}・θ0

これより，減衰自由振動の解θ(t)は，

θ(t) = θ0・exp(-ζωn・t)×[cos{ωn√(1-ζ^2)・t}
+{ζ/√(1-ζ^2)}sin{ωn√(1-ζ^2)・t}]

となります。

計算間違いしている可能性もあるので，自分でも確認して下さい。

質問者からのお礼コメント

大変参考になりました。
どうもありがとうございました！！